[ÁLGEBRA] ¿Puede un conjunto pertenecerse a si mismo?

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Jesucristo
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Repasando mis apuntes de Álgebra Lineal de primero he reparado en lo siguiente:

---------------------------------------
[...]

Un ejemplo muy famoso que ilustra la dificultad de dar una definición rigurosa de conjunto es la pardoja de Bertrand Rusell:

Sea A el conjunto de todos los conjuntos que se pertenecen a sí mismos y sea B el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Es claro que si X es un conjunto, o bien X € A o bien X € B, pero no puede pertenecer a A y a B a la vez. Ahora bien, si B € A, entonces, por la definición de A, B € B, pero esto no puede ser, por lo tanto, B € B, y en este caso, por la definición de A, tenemos que B € A, otra contradicción. 

Observamos que según nuestra idea de lo que tiene que ser un conjunto, o bien A no es un conjunto o B no es un elemente, ya que no podemos decidir si B es un elemento de A o no. Como todo conjunto X es un elemento de otro conjunto, X € {X}, tenemos también que B no es un conjunto, ya que no podemos decidir si B pertenece a B o no. 
Con tal de evitar paradojas de este estilo, tampoco está permitido que un conjunto se pertenezca a sí mismo, es decir, no puede pasar nunca que X € X si X es un conjunto.


-------------------------------------- (la € representa el símbolo "pertenece" xD)

Sin embargo, en la paradoja de Bertrand Rusell, veo un fallo (o me lo parece a mí): no se puede decir que B no se pertenece a si mismo porque no hay nada que lo afirme explícitamente. Es decir, si B = {b1, b2, ... , bn}, por la definición de B sabemos que b1,...,bn NO se pertenecen a si mismos, sin embargo eso no implica que B no se pertenezca a si mismo (esto no se asume en la definición de B). 

Según el razonamiento de esos apuntes, b1 no € b1, ... , bn no € bn  => {b1, ... , bn} no € {b1, ... , bn} <=> B no € B. 

Sin embargo, lo único que asume Rusell es que bi no € bi, no que bi no € B, por lo tanto, la conclusión a la que llega, que ningún conjunto puede pertenecerse a si mismo, es falsa.

Finalmente se puede hacer una demostración limpia de ello:

X = {x1, ... , xn}      =>
x1 € X, ... , xn € X  <=>
{x1, ... , xn} € X      =>
X € X 

¿Cómo lo veis vosotros?

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Bastante Claro

Otra manera de expresarlo (mucha mas obscura) seria la siguiente:

Sea X un Conjunto, como todo elemento de X Pertenece a X entonces X es subconjunto de X, al ser X subconjunto de X, entonces X pertenece a X por definicion de Subconjunto.

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Con lo que concluimos que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo.

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 Y con respecto a la paradoja en si:

¿No seria aventurado pensar que el conjunto B es vacio?

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Podemos hacer el razonamiento de antes. Si definimos O = {}, hemos de ver que O pertenece a O, es decir, que {} pertenece a {}. Aquí hay un problema: si consideramos como elemento "{}", entonces {} no es equivalente a { {} } y O no se pertenece a sí mismo. De lo contrario, {} sería equivalente a { {} } y O se pertenecería a sí mismo, pero eso implicaría que {} € O y por lo tanto O no es conjunto vacío ya que posee un elemento, por lo que llegamos a una contradicción.

En efecto, B solo podría ser el conjunto vacío.

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dosfoix
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Esto es lo que pasa cuando dos ingenieros se juntan y empiezan a discutir sobre teorías axiomáticas de conjuntos sin tener ni zorra de lo que están hablando.

Primero que todo, las demostraciones que dan Jesucristo y Dennx son ambas erróneas: Jesucristo confunde el concepto de pertenecer a con ser subconjunto de; y Dennx lo mismo, además de definir "subconjunto" como le da la gana pero bueno.

La paradoja de Bertrand Rusell puede verse en realidad como una demostración por reducción al absurdo de que un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo. El esquema de este tipo de demostración es el siguiente: Si P implica Q y ¬Q, entonces ¬P.

Tomamos la definición de A y B que establece la paradoja y, por hipótesis, suponemos que un conjunto se pertenece a si mismo. Sea X un conjunto cualquiera, entonces o pertenece a A, o no pertenece a A (por lo tanto, pertenece a B), pero no ambas.

Ahora tomamos B como el conjunto X. Si B pertenece a A, entonces, por definición de A, B se pertenece a si mismo. Pero ojo, hemos dicho que un conjunto X solo puede pertenecer o a A o a B, y aquí tenemos que pertenece a los dos. Por lo tanto no puede ser.

Entonces, si B no pertenece a A, debe pertenecer a B. Pero tampoco puede ser porque por definición de B, si B es un elemento de B, B no puede pertenecerse a si mismo, otra contradicción.

Como hemos llegado a dos contradicciones, la demostración por reducción al absurdo termina con la negación lógica de la hipótesis inicial: X no se pertenece a si mismo.

A partir de aquí, la última pregunta que planteaba Dennx deja de tener significado, aparte de que las demostraciones que dais dejan de ser válidas. En todo caso lo único que habéis hecho ha sido deducir que un conjunto es subconjunto de si mismo...

dosfoix returns!!!

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 Que yo sepa la definicion de Subconjunto es:

Dados dos conjuntos A y B. A es subconjunto de B si cada elemento de A es elemento de B. Generalmente expresado como cada elemento de A perteneciente a A y Perteneciente a B:

A ⊂ B Si  x ∈ A, entonces x ∈ B

Puedo determinar incluso si dos conjuntos son "iguales" si tengo que

A ⊂ B y B ⊂ A

Por tanto cada elemento de B esta en A y cada elemento de A esta en B

por tanto podria decirse sin problemas que:

 A⊂A Si  x ∈ A, entonces x ∈ A

Porque cada elemento de A esta en A. 

Lo cual es una demostracion de que cada conjunto es subconjunto de si mismo.

¿Cual seria el error entonces?

 

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Ahí no hay ningún error, lo que criticaba era esto:

Sea X un Conjunto, como todo elemento de X Pertenece a X entonces X es subconjunto de X, al ser X subconjunto de X, entonces X pertenece a X por definicion de Subconjunto.

Ahí entendí lo siguiente: si X es un subconjunto de X, entonces (el conjunto) X pertenece a X, cuando un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo (una cosa son sus elementos, y otra el conjunto en sí).

dosfoix returns!!!

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Bueno se ha corregido el Desaguisado.

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Puedo determinar incluso si dos conjuntos son "iguales" si tengo que

A ⊂ B y B ⊂ A

Formalmente eso es falso. A ⊂ B, además de implicar que si x ∈ A entonces x ∈ B, también implica A ≠ B (definición de subconjunto propio); se puede demostrar que asumiendo A ⊂ B y B ⊂ A se llega a una contradicción. En otras palabras, si A es un subconjunto propio de B, entonces B no puede ser un subconjunto propio de A. 

La condición es A = B ↔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).

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