Repasando mis apuntes de Álgebra Lineal de primero he reparado en lo siguiente:
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Un ejemplo muy famoso que ilustra la dificultad de dar una definición rigurosa de conjunto es la pardoja de Bertrand Rusell:
Sea A el conjunto de todos los conjuntos que se pertenecen a sí mismos y sea B el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Es claro que si X es un conjunto, o bien X € A o bien X € B, pero no puede pertenecer a A y a B a la vez. Ahora bien, si B € A, entonces, por la definición de A, B € B, pero esto no puede ser, por lo tanto, B € B, y en este caso, por la definición de A, tenemos que B € A, otra contradicción.
Observamos que según nuestra idea de lo que tiene que ser un conjunto, o bien A no es un conjunto o B no es un elemente, ya que no podemos decidir si B es un elemento de A o no. Como todo conjunto X es un elemento de otro conjunto, X € {X}, tenemos también que B no es un conjunto, ya que no podemos decidir si B pertenece a B o no.
Con tal de evitar paradojas de este estilo, tampoco está permitido que un conjunto se pertenezca a sí mismo, es decir, no puede pasar nunca que X € X si X es un conjunto.
-------------------------------------- (la € representa el símbolo "pertenece" xD)
Sin embargo, en la paradoja de Bertrand Rusell, veo un fallo (o me lo parece a mí): no se puede decir que B no se pertenece a si mismo porque no hay nada que lo afirme explícitamente. Es decir, si B = {b1, b2, ... , bn}, por la definición de B sabemos que b1,...,bn NO se pertenecen a si mismos, sin embargo eso no implica que B no se pertenezca a si mismo (esto no se asume en la definición de B).
Según el razonamiento de esos apuntes, b1 no € b1, ... , bn no € bn => {b1, ... , bn} no € {b1, ... , bn} <=> B no € B.
Sin embargo, lo único que asume Rusell es que bi no € bi, no que bi no € B, por lo tanto, la conclusión a la que llega, que ningún conjunto puede pertenecerse a si mismo, es falsa.
Finalmente se puede hacer una demostración limpia de ello:
X = {x1, ... , xn} =>
x1 € X, ... , xn € X <=>
{x1, ... , xn} € X =>
X € X
¿Cómo lo veis vosotros?
Bastante Claro
Otra manera de expresarlo (mucha mas obscura) seria la siguiente:
Sea X un Conjunto, como todo elemento de X Pertenece a X entonces X es subconjunto de X, al ser X subconjunto de X, entonces X pertenece a X por definicion de Subconjunto.
For we who grew up tall and proud In the shadow of the mushroom cloud Convinced our voices can't be heard We just wanna scream it louder and louder louder http://profiles.yaho